两个LADR中涉及 range及 null 的证明时常用的公式
1. 线性映射基本定理（秩-零化度定理） 公式说明： 对于有限维向量空间 $V$ 及其上的线性映射 $T: V \to W$，该公式揭示了算子 $T$ 对定义域 $V$ 的"能量分配"法则。 定义域 $V$ 的总维数被严格地一分为二： $\dim(\text{null } T)$（零化度）：表示被算子 $T$ “降维打击"压缩为零向量的那部分空间的维数。 $\dim(\text{range } T)$（秩）：表示算子 $T$ 保留下来，并投影到目标空间 $W$ 中形成的有效像空间的维数。 证明过程： 第一步：设 $\text{null } T$ 的维数为 $m$。我们在 $\text{null } T$ 中取一组基： $$u_1, u_2, \dots, u_m$$第二步：由于 $\text{null } T$ 是 $V$ 的子空间，根据基扩充定理，我们可以将这组基扩充为整个空间 $V$ 的基。假设扩充了 $n$ 个向量： $$u_1, u_2, \dots, u_m, v_1, v_2, \dots, v_n$$此时显然有 $\dim V = m + n$。 第三步：我们要证明 $T(v_1), T(v_2), \dots, T(v_n)$ 构成了 $\text{range } T$ 的一组基。这需要证明它们既生成了 $\text{range } T$，又线性无关。 ...