算子可对角化的充要与充分条件

算子可对角化的充要条件

对于 $n$ 维有限维向量空间 $V$ 上的线性算子 $T$ ，其可对角化的充要条件包括：

• 特征向量基： 算子 $T$ 存在 $n$ 个线性无关的特征向量（即 $V$ 存在一组完全由 $T$ 的特征向量组成的基）。
• 特征子空间直和： 向量空间 $V$ 是 $T$ 的所有特征子空间的直和。

$$V = E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus E_{\lambda_k}$$

• 代数重数等于几何重数： $T$ 的特征多项式在所在数域上可全部分解为一次因式的乘积，且对于每一个特征值 $\lambda_i$ ，其代数重数等于几何重数（即 $\dim(E_{\lambda_i})$ 等于该特征值在特征多项式中的重数）。
• 极小多项式无重根： $T$ 的极小多项式 $m(x)$ 在所在数域上可分解为互不相同的线性因式的乘积。

$$m(x) = (x - \lambda_1)(x - \lambda_2)\dots(x - \lambda_k)$$

算子可对角化的充分条件

• 特征值互异： 算子 $T$ 具有 $n$ 个互不相同的特征值（即特征多项式无重根）。
• 自伴随算子（实对称）： 在实内积空间中，若 $T$ 为自伴随算子（其在标准正交基下的矩阵为实对称矩阵），则 $T$ 必然可被正交对角化。
• 正规算子： 在复内积空间中，若 $T$ 满足 $T^*T = TT^*$ （即正规算子，对应矩阵包括埃尔米特矩阵、反埃尔米特矩阵、酉矩阵等），则 $T$ 必然可被酉对角化。
• 存在无重根的化零多项式： 若算子 $T$ 满足某个无重根的多项式方程 $f(T) = 0$ ，则 $T$ 可对角化。例如幂等算子（满足 $x^2 - x = 0$ ）与对合算子（满足 $x^2 - 1 = 0$ ）均必然可对角化。