1. 线性映射基本定理（秩-零化度定理）

公式说明：

对于有限维向量空间 $V$ 及其上的线性映射 $T: V \to W$，该公式揭示了算子 $T$ 对定义域 $V$ 的“能量分配”法则。

定义域 $V$ 的总维数被严格地一分为二：

  • $\dim(\text{null } T)$（零化度）：表示被算子 $T$ “降维打击”压缩为零向量的那部分空间的维数。
  • $\dim(\text{range } T)$（秩）：表示算子 $T$ 保留下来，并投影到目标空间 $W$ 中形成的有效像空间的维数。

证明过程：

第一步：设 $\text{null } T$ 的维数为 $m$。我们在 $\text{null } T$ 中取一组基：

$$u_1, u_2, \dots, u_m$$

第二步：由于 $\text{null } T$ 是 $V$ 的子空间，根据基扩充定理，我们可以将这组基扩充为整个空间 $V$ 的基。假设扩充了 $n$ 个向量：

$$u_1, u_2, \dots, u_m, v_1, v_2, \dots, v_n$$

此时显然有 $\dim V = m + n$。

第三步：我们要证明 $T(v_1), T(v_2), \dots, T(v_n)$ 构成了 $\text{range } T$ 的一组基。这需要证明它们既生成了 $\text{range } T$，又线性无关。

  • 证明生成性： 对于 $\text{range } T$ 中的任意向量 $w$，根据定义，必然存在 $v \in V$ 使得 $w = T(v)$。 因为 $u_i$ 和 $v_j$ 构成了 $V$ 的基，我们可以将 $v$ 展开为： $$v = a_1 u_1 + \dots + a_m u_m + b_1 v_1 + \dots + b_n v_n$$ 对两边同时作用算子 $T$： $$T(v) = a_1 T(u_1) + \dots + a_m T(u_m) + b_1 T(v_1) + \dots + b_n T(v_n)$$ 因为 $u_1, \dots, u_m \in \text{null } T$，所以 $T(u_i) = 0$。上式化简为： $$w = T(v) = b_1 T(v_1) + \dots + b_n T(v_n)$$ 这说明 $T(v_1), \dots, T(v_n)$ 生成了 $\text{range } T$。
  • 证明线性无关： 假设存在一组标量 $c_1, \dots, c_n$ 使得： $$c_1 T(v_1) + c_2 T(v_2) + \dots + c_n T(v_n) = 0$$ 利用 $T$ 的线性性质，可以将其合并为： $$T(c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n) = 0$$ 这意味着向量 $(c_1 v_1 + \dots + c_n v_n)$ 属于 $\text{null } T$。 既然它属于 $\text{null } T$，它就可以被 $\text{null } T$ 的基 $u_1, \dots, u_m$ 线性表出： $$c_1 v_1 + \dots + c_n v_n = d_1 u_1 + \dots + d_m u_m$$ 移项得到： $$-d_1 u_1 - \dots - d_m u_m + c_1 v_1 + \dots + c_n v_n = 0$$ 请注意，$u_1, \dots, u_m, v_1, \dots, v_n$ 是全空间 $V$ 的基，它们是绝对线性无关的。因此，上述等式中所有的系数必须全为 $0$，即： $$c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0$$ （同时也得出 $d_i = 0$）。 既然所有的 $c_i$ 只能为 $0$，这就证明了 $T(v_1), \dots, T(v_n)$ 是线性无关的。

第四步：得出结论。

既然 $T(v_1), \dots, T(v_n)$ 既生成了 $\text{range } T$ 又线性无关，它们就是 $\text{range } T$ 的一组基。

因此，$\dim(\text{range } T) = n$。

代入我们一开始得出的 $\dim V = m + n$，即可得到：

$$\dim V = \dim(\text{null } T) + \dim(\text{range } T)$$

2. 子空间和的维数公式

公式说明：

该公式是集合论中“容斥原理”在向量空间中的代数等价物。当把两个子空间 $U_1$ 和 $U_2$ 加在一起形成一个更大的空间时，它们的维数并非简单的算术相加。因为如果它们有相交的部分（$U_1 \cap U_2$），这部分空间的基础维度在 $U_1$ 和 $U_2$ 中各被计算了一次。为了得到准确的总维数，必须减去被重复计算的交空间的维数。

证明过程：

第一步：设交空间 $U_1 \cap U_2$ 的维数为 $m$。取其一组基：

$$v_1, v_2, \dots, v_m$$

第二步：因为 $U_1 \cap U_2$ 是 $U_1$ 的子空间，我们将这组基扩充为 $U_1$ 的基（假设扩充了 $j$ 个向量）：

$$v_1, \dots, v_m, u_1, \dots, u_j$$

此时 $\dim U_1 = m + j$。

第三步：同理，$U_1 \cap U_2$ 也是 $U_2$ 的子空间，我们将同一组交集基扩充为 $U_2$ 的基（假设扩充了 $k$ 个向量）：

$$v_1, \dots, v_m, w_1, \dots, w_k$$

此时 $\dim U_2 = m + k$。

第四步：我们要证明把它们全都放在一起组成的向量组 $v_1, \dots, v_m, u_1, \dots, u_j, w_1, \dots, w_k$ 是和空间 $U_1 + U_2$ 的一组基。

  • 证明生成性： 对于 $U_1 + U_2$ 中的任意向量 $x$，它可以写为 $x = y + z$，其中 $y \in U_1, z \in U_2$。 $y$ 可以被 $v$ 和 $u$ 的组合表出，$z$ 可以被 $v$ 和 $w$ 的组合表出。 因此 $x$ 显然可以被 $v, u, w$ 的整体组合表出，即它们生成了 $U_1 + U_2$。
  • 证明线性无关： 假设存在标量使得这组向量的线性组合为零： $$a_1 v_1 + \dots + a_m v_m + b_1 u_1 + \dots + b_j u_j + c_1 w_1 + \dots + c_k w_k = 0$$ 将含有 $w$ 的项移到等号右边： $$a_1 v_1 + \dots + a_m v_m + b_1 u_1 + \dots + b_j u_j = - (c_1 w_1 + \dots + c_k w_k)$$ 观察这个等式： 等式左边的向量是由 $v_i$ 和 $u_i$ 组合而成的，因此它显然属于 $U_1$。 等式右边的向量是由 $w_i$ 组合而成的，因此它显然属于 $U_2$。 既然左右两边相等，说明这个向量**既属于 $U_1$ 又属于 $U_2$**。 所以，右边的向量 $- (c_1 w_1 + \dots + c_k w_k) \in U_1 \cap U_2$。 既然它属于交空间，它就可以被交空间的基 $v_1, \dots, v_m$ 唯一表出： $$- (c_1 w_1 + \dots + c_k w_k) = d_1 v_1 + \dots + d_m v_m$$ 移项得到： $$d_1 v_1 + \dots + d_m v_m + c_1 w_1 + \dots + c_k w_k = 0$$ 注意，根据我们的第三步，$v_1, \dots, v_m, w_1, \dots, w_k$ 是 $U_2$ 的基，它们是线性无关的。所以所有的系数必须为 $0$，特别是： $$c_1 = c_2 = \dots = c_k = 0$$ 将所有 $c_i = 0$ 代回我们最初的假设等式，得到： $$a_1 v_1 + \dots + a_m v_m + b_1 u_1 + \dots + b_j u_j = 0$$ 同理，根据我们的第二步，$v_1, \dots, v_m, u_1, \dots, u_j$ 是 $U_1$ 的基，它们是线性无关的。所以所有的系数也必须为 $0$： $$a_1 = \dots = a_m = b_1 = \dots = b_j = 0$$ 至此我们证明了，所有的 $a_i, b_i, c_i$ 都只能为 $0$。因此这组大向量组是线性无关的。

第五步：得出结论。

既然这 $m + j + k$ 个向量既生成了 $U_1 + U_2$ 又线性无关，它们就构成了 $U_1 + U_2$ 的一组基。

因此：

$$\dim(U_1 + U_2) = m + j + k$$

对其进行简单的代数恒等变形：

$$m + j + k = (m + j) + (m + k) - m$$

将前面定义的各个维数代入上式，立刻得到最终公式： $$\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2)$$