华里士公式（Wallis formula） 主要用于快速计算正弦函数 $\sin x$ 或余弦函数 $\cos x$ 的高次幂在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的定积分。
一、 公式标准形式
设 $n$ 为正整数，点火公式的核心表达式为：
$$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx$$
根据 $n$ 的奇偶性，其计算结果分为以下两种情况：
- 当 $n$ 为正偶数时：
$$I_n = \frac{n-1}{n} \times \frac{n-3}{n-2} \times \dots \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}$$
- 当 $n$ 为正奇数时：
$$I_n = \frac{n-1}{n} \times \frac{n-3}{n-2} \times \dots \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times 1$$
二、 记忆口诀与特征
为了方便在计算中快速套用，可以总结为以下几条规律：
- 分母从 $n$ 开始，分子从 $n-1$ 开始：分子和分母都是每次减 $2$ 往下乘（即隔项相乘）。
- 大数在下，小数在上：每一项都是分子比分母小 $1$ 的分数（例如 $\frac{n-1}{n}$）。
- 尾项判断（看尾巴）：
- 如果是偶数，一路递减相乘到最后必然出现 $\frac{1}{2}$，此时必须在最后面强行补乘一个 $\frac{\pi}{2}$（这也是“点火”得名的由来，像火箭发射一样需要最后加个尾巴点火）。
- 如果是奇数，一路递减相乘到最后必然出现 $\frac{2}{3}$，此时最后面乘 $1$ 保持原样即可。
三、 经典拓展（区间扩展）
在实际解题中，积分区间并不总是标准的 $[0, \frac{\pi}{2}]$。我们可以利用三角函数的周期性和对称性，将其他区间转化为标准区间来使用点火公式：
- 关于 $[0, \pi]$ 的扩展： 由于 $\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上关于 $x = \frac{\pi}{2}$ 对称，所以： $$\int_{0}^{\pi} \sin^n x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = 2 I_n$$ 对于 $\cos^n x$，若 $n$ 为偶数，同样放大 $2$ 倍；若 $n$ 为奇数，其积分结果直接为 $0$。
- 关于 $[0, 2\pi]$ 的扩展： 对于绝对值或者偶次幂，通常可以直接放大 $4$ 倍。例如当 $n$ 为偶数时： $$\int_{0}^{2\pi} \sin^n x dx = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = 4 I_n$$
四、 举例演示
- 例1（偶数情况）：计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x dx$ 这里 $n = 4$ 为偶数，直接套用公式： $$ I_4 = \frac{4-1}{4} \times \frac{4-3}{4-2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$$
- 例2（奇数情况）：计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^5 x dx$ 这里 $n = 5$ 为奇数，直接套用公式： $$ I_5 = \frac{5-1}{5} \times \frac{5-3}{5-2} \times 1 = \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times 1 = \frac{8}{15}$$