格拉姆-施密特正交化 (Gram-Schmidt Procedure) 的核心思想非常直观：依次从每个新向量中，减去它在已经构造好的正交向量上的投影（即剔除平行分量），留下的就全都是垂直的分量。 最后再将留下的分量标准化（使其长度为 1 ）。
对于任意一个线性无关的向量组 $v_1, v_2, \dots, v_m$ ，我们想要将其转化为一组规范正交基 $e_1, e_2, \dots, e_m$ 。具体的计算递推步骤如下：
一、 通用计算公式
第一步：处理基础向量
第一个向量 $v_1$ 是一切的基础，只需直接将其标准化即可：
$$e_1 = \frac{v_1}{|v_1|}$$
第二步：处理第二个向量
为了让第二个向量与 $e_1$ 正交，我们需要从 $v_2$ 中减去它在 $e_1$ 上的投影。设减去投影后的“纯垂直”向量为 $u_2$ ：
$$u_2 = v_2 - \langle v_2, e_1 \rangle e_1$$
然后对 $u_2$ 进行标准化：
$$e_2 = \frac{u_2}{|u_2|}$$
第 $k$ 步：处理后续向量
以此类推，对于任意的 $v_k$ ，必须从中减去它在所有已经求出的正交基 $e_1, \dots, e_{k-1}$ 方向上的投影。设过渡向量为 $u_k$ ：
$$u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \langle v_k, e_j \rangle e_j$$
最后将其标准化得到 $e_k$ ：
$$e_k = \frac{u_k}{|u_k|}$$
二、 具体计算演示（举一反三）
为了清晰掌握计算细节并融会贯通，我们以 $\mathbb{R}^3$ 空间中的标准内积（点乘）为例。假设有三个线性无关的向量：
$v_1 = (1, 1, 0)$
$v_2 = (1, 0, 1)$
$v_3 = (0, 1, 1)$
第一步：求 $e_1$
计算 $v_1$ 的范数（长度）：
$$|v_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$
标准化得到 $e_1$ ：
$$e_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$$
第二步：求 $e_2$
计算 $v_2$ 在 $e_1$ 上的内积：
$$\langle v_2, e_1 \rangle = 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 \cdot 0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
计算过渡向量 $u_2$ ：
$$u_2 = (1, 0, 1) - \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0) = (1, 0, 1) - (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$$
计算 $u_2$ 的范数：
$$|u_2| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
标准化得到 $e_2$ ：
$$e_2 = \frac{u_2}{|u_2|} = \frac{2}{\sqrt{6}}(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}})$$
第三步：求 $e_3$
分别计算 $v_3$ 在 $e_1$ 和 $e_2$ 上的内积：
$$\langle v_3, e_1 \rangle = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 \cdot 0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\langle v_3, e_2 \rangle = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} + 1 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{6}}) + 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$$
计算过渡向量 $u_3$ ：
$$u_3 = v_3 - \langle v_3, e_1 \rangle e_1 - \langle v_3, e_2 \rangle e_2$$
$$u_3 = (0, 1, 1) - (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0) - (\frac{1}{6}, -\frac{1}{6}, \frac{2}{6}) = (-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$$
计算 $u_3$ 的范数：
$$|u_3| = \sqrt{(-\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{12}{9}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$
标准化得到 $e_3$ ：
$$e_3 = \frac{u_3}{|u_3|} = \frac{3}{2\sqrt{3}}(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}) = (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$$
按照上述方法，最终得到的 $e_1, e_2, e_3$ 即为该向量组转化出的规范正交基。只要严格按照每次减去与先前所有基的内积投影并标准化的流程，任意维度的独立向量组都可以这样被正交化。