《数学分析》学习笔记：傅里叶级数
一、 三角函数系的正交性
在函数空间中，我们可以将内积的概念从有限维向量推广到连续函数。在区间 $[-\pi, \pi]$ 上，定义两个实函数 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 的内积为：
$$\langle \alpha, \beta \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} \alpha(x)\beta(x) ,dx$$
正交基底：三角函数系 ${1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dots }$ 在上述内积定义下构成一组正交基。任意两个不同基底函数的内积为 $0$ ：
$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\cos(nx) ,dx = 0$$
$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\cos(nx) ,dx = 0 \quad (m \neq n)$$
$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\sin(nx) ,dx = 0 \quad (m \neq n)$$
基底函数与自身的内积（即范数平方）为固定的常数：
$$\int_{-\pi}^{\pi} 1^2 ,dx = 2\pi$$
$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(nx) ,dx = \pi$$
$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx) ,dx = \pi$$
二、 傅里叶级数与系数公式
设周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$ 可表示为三角函数系的线性组合：
$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$
利用三角函数系的正交性，在等式两边同乘特定的基底函数并在 $[-\pi, \pi]$ 上积分，所有交叉项积分为 $0$ ，可得傅里叶系数（Euler-Fourier 公式）：
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) ,dx$$
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) ,dx \quad (n=1, 2, \dots)$$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) ,dx \quad (n=1, 2, \dots)$$
三、 收敛性理论 (Dirichlet 定理)
前提条件：若 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的分段光滑函数（即在任何有限区间内只有有限个第一类间断点，且导函数在非间断点处连续，在间断点处存在单侧导数）。
收敛结论：该函数的傅里叶级数在实数轴上处处收敛，且：
- 在函数 $f(x)$ 的连续点 $x$ 处，级数收敛于该点的真实函数值 $f(x)$ 。
- 在函数 $f(x)$ 的第一类间断点 $x$ 处，级数收敛于该点左右极限的算术平均值 $\frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}$ 。
四、 配套习题与解析
习题 1：基本分段函数的展开（黑板推导复现）
题目：设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，在 $[-\pi, \pi)$ 上的表达式为：
$$f(x) = \begin{cases} 0, & -\pi < x \le 0 \ x, & 0 < x \le \pi \end{cases}$$
求 $f(x)$ 的傅里叶级数展开式。
解析：
计算 $a_0$ ：
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) ,dx = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 0 ,dx + \int_{0}^{\pi} x ,dx \right) = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^\pi = \frac{\pi}{2}$$
计算 $a_n$ （使用分部积分法）：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x\cos(nx) ,dx = \frac{1}{\pi} \left( \left[ x \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi - \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{n} ,dx \right) = \frac{(-1)^n - 1}{\pi n^2}$$
计算 $b_n$ （使用分部积分法）：
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x\sin(nx) ,dx = \frac{1}{\pi} \left( \left[ -x \frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi + \int_{0}^{\pi} \frac{\cos(nx)}{n} ,dx \right) = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$$
结论：
$$f(x) \sim \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{(-1)^n - 1}{\pi n^2} \cos nx + \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx \right)$$
习题 2：奇偶性简化与级数求和 (举一反三)
题目：
- 将函数 $g(x) = x$ 在区间 $[-\pi, \pi]$ 上展开为傅里叶级数。
- 借助 Dirichlet 定理，求常数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$ 的和。
解析：
- 观察可知 $g(x) = x$ 是奇函数。对于奇函数，其与偶函数 $\cos(nx)$ 的乘积仍为奇函数，在对称区间 $[-\pi, \pi]$ 上的定积分为 $0$ ，因此所有余弦项系数 $a_n = 0$ （包含 $a_0 = 0$ ）。 只需计算正弦项系数 $b_n$ ：
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx) ,dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x\sin(nx) ,dx$$
应用分部积分：
$$b_n = \frac{2}{\pi} \left( \left[ -x \frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi + \int_{0}^{\pi} \frac{\cos(nx)}{n} ,dx \right) = \frac{2}{\pi} \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} + 0 \right) = 2 \frac{(-1)^{n+1}}{n}$$
故 $g(x)$ 的傅里叶展开式为（仅含有正弦项）：
$$x \sim 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx \quad (x \in (-\pi, \pi))$$
- 根据 Dirichlet 定理，在连续点 $x = \frac{\pi}{2}$ 处，傅里叶级数严格收敛于函数本身的取值 $g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$ 。将 $x = \frac{\pi}{2}$ 代入上述展开式：
$$\frac{\pi}{2} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$$
观察数列 $\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ 的规律，当 $n$ 为偶数时，该项为 $0$ ；当 $n = 2k-1$ ( $k=1,2,3,\dots$ ) 时，该项的值为 $(-1)^{k-1}$ 。
将 $n = 2k-1$ 代入非零项进行化简，此时前面的符号控制项 $(-1)^{n+1} = (-1)^{2k} = 1$ ：
$$\frac{\pi}{2} = 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k-1} (-1)^{k-1}$$
两边同时除以 $2$ ，即可得到著名的莱布尼茨交错级数求和结果：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{\pi}{4}$$