学术推导与笔记

一、 核心公式 $$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$$$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$$$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$$$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$ 注意：第四个公式（余弦减余弦）右侧带有一个负号，这是在记忆和符号推演中最容易出错的地方。 二、 推导思路与举一反三 面对复杂的数学推导，死记硬背公式往往不够可靠。和差化积公式实际上是由两角和与差的三角函数展开公式通过换元推导而来的。掌握这个思路，不仅能在遗忘时迅速在草稿纸上复现，还能自然地理解积化和差的过程。 以推导 $\sin\alpha + \sin\beta$ 为例，过程如下： 写出正弦的两角和与两角差公式： $$\sin(x+y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y$$$$\sin(x-y) = \sin x\cos y - \cos x\sin y$$ 将两式相加，消去后半部分，得到（这同时也是积化和差公式的基础）： $$\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2\sin x\cos y$$ 引入换元，令 $x+y = \alpha$ 且 $x-y = \beta$。解这个线性方程组，可得： $$x = \frac{\alpha+\beta}{2}$$$$y = \frac{\alpha-\beta}{2}$$ 将换元后的 $x$ 和 $y$ 代回第 2 步的等式中，即得到最终的公式： $$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$其余三个公式的推导逻辑完全平行： ...

格拉姆-施密特正交化 (Gram-Schmidt Procedure) 的核心思想非常直观：依次从每个新向量中，减去它在已经构造好的正交向量上的投影（即剔除平行分量），留下的就全都是垂直的分量。 最后再将留下的分量标准化（使其长度为 1 ）。 对于任意一个线性无关的向量组 $v_1, v_2, \dots, v_m$ ，我们想要将其转化为一组规范正交基 $e_1, e_2, \dots, e_m$ 。具体的计算递推步骤如下： 一、 通用计算公式 第一步：处理基础向量 第一个向量 $v_1$ 是一切的基础，只需直接将其标准化即可： $$e_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|}$$第二步：处理第二个向量 为了让第二个向量与 $e_1$ 正交，我们需要从 $v_2$ 中减去它在 $e_1$ 上的投影。设减去投影后的“纯垂直”向量为 $u_2$ ： $$u_2 = v_2 - \langle v_2, e_1 \rangle e_1$$然后对 $u_2$ 进行标准化： $$e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|}$$第 $k$ 步：处理后续向量 以此类推，对于任意的 $v_k$ ，必须从中减去它在所有已经求出的正交基 $e_1, \dots, e_{k-1}$ 方向上的投影。设过渡向量为 $u_k$ ： $$u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \langle v_k, e_j \rangle e_j$$最后将其标准化得到 $e_k$ ： ...

华里士公式（Wallis formula） 主要用于快速计算正弦函数 $\sin x$ 或余弦函数 $\cos x$ 的高次幂在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的定积分。 一、 公式标准形式 设 $n$ 为正整数，点火公式的核心表达式为： $$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx$$根据 $n$ 的奇偶性，其计算结果分为以下两种情况： 当 $n$ 为正偶数时： $$I_n = \frac{n-1}{n} \times \frac{n-3}{n-2} \times \dots \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}$$ 当 $n$ 为正奇数时： $$I_n = \frac{n-1}{n} \times \frac{n-3}{n-2} \times \dots \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times 1$$二、 记忆口诀与特征 为了方便在计算中快速套用，可以总结为以下几条规律： 分母从 $n$ 开始，分子从 $n-1$ 开始：分子和分母都是每次减 $2$ 往下乘（即隔项相乘）。 大数在下，小数在上：每一项都是分子比分母小 $1$ 的分数（例如 $\frac{n-1}{n}$）。 尾项判断（看尾巴）： 如果是偶数，一路递减相乘到最后必然出现 $\frac{1}{2}$，此时必须在最后面强行补乘一个 $\frac{\pi}{2}$（这也是“点火”得名的由来，像火箭发射一样需要最后加个尾巴点火）。 如果是奇数，一路递减相乘到最后必然出现 $\frac{2}{3}$，此时最后面乘 $1$ 保持原样即可。 三、 经典拓展（区间扩展） 在实际解题中，积分区间并不总是标准的 $[0, \frac{\pi}{2}]$。我们可以利用三角函数的周期性和对称性，将其他区间转化为标准区间来使用点火公式： ...

定积分的几何应用学习笔记 一、 平面图形的面积计算 定积分计算平面图形面积的核心思想是面积微元法（将整体图形分割为无数个微小的规则图形进行累加）。 直角坐标系面积 当图形由上边界曲线 $y=f(x)$ 与下边界曲线 $y=g(x)$ 以及两条垂直直线 $x=a$ 和 $x=b$ 围成时，面积公式为： $$A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$$若图形关于 $y$ 轴方向更容易表达（即左边界为 $x=h(y)$ ，右边界为 $x=k(y)$ ），则应转化为对 $y$ 的定积分： $$A = \int_{c}^{d} [k(y) - h(y)] dy$$ 参数方程面积 对于由参数方程 $x=x(t)$ 与 $y=y(t)$ 给出的闭合或非闭合曲线，需要利用换元法将直角坐标积分转化为对参数 $t$ 的定积分。若随着 $t$ 从 $t_1$ 变到 $t_2$ ，自变量 $x$ 从 $a$ 单调变到 $b$ ，则面积公式为： $$A = \int_{t_1}^{t_2} |y(t) x'(t)| dt$$ 极坐标系面积 对于由极坐标方程 $r=r(\theta)$ 以及两条极角射线 $\theta=\alpha$ 和 $\theta=\beta$ 围成的扇形图形，面积微元是面积为 $\frac{1}{2}r^2 d\theta$ 的小扇形。其积分公式为： $$A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} [r(\theta)]^2 d\theta$$二、 旋转体体积的计算 计算旋转体体积时，需要根据旋转轴的位置以及平面图形的边界特征，选择最合适的体积微元构造方式。 ...

《数学分析》学习笔记：傅里叶级数 一、 三角函数系的正交性 在函数空间中，我们可以将内积的概念从有限维向量推广到连续函数。在区间 $[-\pi, \pi]$ 上，定义两个实函数 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 的内积为： $$\langle \alpha, \beta \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} \alpha(x)\beta(x) ,dx$$正交基底：三角函数系 ${1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dots }$ 在上述内积定义下构成一组正交基。任意两个不同基底函数的内积为 $0$ ： $$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\cos(nx) ,dx = 0$$$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\cos(nx) ,dx = 0 \quad (m \neq n)$$$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\sin(nx) ,dx = 0 \quad (m \neq n)$$基底函数与自身的内积（即范数平方）为固定的常数： $$\int_{-\pi}^{\pi} 1^2 ,dx = 2\pi$$$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(nx) ,dx = \pi$$$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx) ,dx = \pi$$二、 傅里叶级数与系数公式 设周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$ 可表示为三角函数系的线性组合： ...

三角函数 正弦函数： $$(\sin x)' = \cos x$$ 余弦函数： $$(\cos x)' = -\sin x$$ 正切函数： $$(\tan x)' = \sec^2 x$$ 余切函数： $$(\cot x)' = -\csc^2 x$$ 正割函数： $$(\sec x)' = \sec x \tan x$$ 余割函数： $$(\csc x)' = -\csc x \cot x$$反三角函数 反正弦函数： $$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ 反余弦函数： $$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ 反正切函数： $$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$$ 反余切函数： $$(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$$

瑕积分敛散性判断方法 T0 级别 极限比较判别法（配合等价无穷小代换 / 泰勒展开） 这是实际做题中实用性最高、出场率达到 90% 以上的方法。只要被积函数在瑕点附近是定号的（恒正或恒负），应当优先使用此方法。 实战操作：寻找使分母为零或函数无界的瑕点 $a$ 。假设 $x \to a^+$ ，直接观察被积函数 $f(x)$ 中的“核心致病因子”，利用泰勒公式或等价无穷小将 $f(x)$ 剥离化简。 目标：凑出如下极限： $$\lim_{x \to a^+} (x-a)^p f(x) = l \quad (0 < l < +\infty)$$ 判定标准：直接看凑出来的指数 $p$ 。如果 $p<1$ 则收敛；如果 $p \ge 1$ 则发散。 【对应习题】 判断下列瑕积分的敛散性： $$\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+\sqrt{x})}{\sin x} dx$$【解析】 定位瑕点：当 $x \to 0^+$ 时，分母 $\sin x \to 0$ ，故 $x=0$ 是唯一瑕点。在 $(0, 1]$ 上被积函数恒正，适用极限比较法。 等价代换找核心阶数：当 $x \to 0^+$ 时，有等价无穷小 $\ln(1+\sqrt{x}) \sim \sqrt{x}$ 且 $\sin x \sim x$ 。 计算极限： $$\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1+\sqrt{x})}{\sin x} = \lim_{x \to 0^+} x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x} = 1$$ 得出结论：此时对应的指数 $p=\frac{1}{2}$ ，因为 $p<1$ 且极限值为 $1$ （满足 $0 < l < +\infty$ ），根据极限比较判别法，该瑕积分 收敛。 T1 级别：特定题型的唯一解 绝对收敛判定法 与 狄利克雷/阿贝尔判别法 (Dirichlet / Abel Test) ...

内积 (Inner Product) 的定义 设 $V$ 是在标量域 $\mathbb{F}$ （其中 $\mathbb{F}$ 代表实数域 $\mathbb{R}$ 或复数域 $\mathbb{C}$ ）上的一个向量空间。 $V$ 上的内积是一个函数，它将 $V$ 中元素的每个有序对 $(u, v)$ 映射为一个标量 $\langle u, v \rangle \in \mathbb{F}$ ，并且对所有 $u, v, w \in V$ 和所有 $\lambda \in \mathbb{F}$ 都满足以下五个性质： 正性 (Positivity)： $$\langle v, v \rangle \ge 0$$ 定性 (Definiteness)： $$\langle v, v \rangle = 0 \iff v = 0$$ 第一位置加性 (Additivity in first slot)： $$\langle u + v, w \rangle = \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle$$ 第一位置齐次性 (Homogeneity in first slot)： $$\langle \lambda u, v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle$$ 共轭对称性 (Conjugate symmetry)： $$\langle u, v \rangle = \overline{\langle v, u \rangle}$$（注：其中上划线表示复共轭。如果标量域是实数域 $\mathbb{R}$ ，则共轭对称性等价于普通的对称性，即 $\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle$ ）。 ...

不定积分对照表 1. 幂函数与指数函数 $$\int k dx = kx + C \quad (k \text{ 为常数})$$$$\int x^\mu dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C \quad (\mu \neq -1)$$$$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$$$$\int e^x dx = e^x + C$$$$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)$$2. 基本三角函数 $$\int \sin x dx = -\cos x + C$$$$\int \cos x dx = \sin x + C$$$$\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C$$$$\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C$$$$\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$$$$\int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$$3. 三角函数的平方与乘积形式 $$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$$$$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$$$$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$$$$\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$$4. 产生反三角函数的积分形式 $$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$$$$\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \quad (a \neq 0)$$$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C \quad (a > 0)$$5. 产生对数函数的特殊分式与根式形式 $$\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C \quad (a \neq 0)$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \ln\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right) + C \quad (a > 0)$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2-a^2}\right| + C \quad (a > 0)$$常用的麦克劳林展开 指数函数 $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \quad (-\infty < x < +\infty)$$ 正弦函数 $$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \quad (-\infty < x < +\infty)$$ 余弦函数 $$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \quad (-\infty < x < +\infty)$$ 对数函数 $$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad (-1 < x \le 1)$$ 几何级数（基本分式） $$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad (-1 < x < 1)$$$$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots \quad (-1 < x < 1)$$ 二项式展开 $$(1+x)^\alpha = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n \quad (-1 < x < 1)$$ 反正切函数 $$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots \quad (-1 \le x \le 1)$$ 反正弦函数 $$\arcsin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = x + \frac{1}{2 \cdot 3}x^3 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5}x^5 + \cdots \quad (-1 \le x \le 1)$$

算子可对角化的充要条件 对于 $n$ 维有限维向量空间 $V$ 上的线性算子 $T$ ，其可对角化的充要条件包括： 特征向量基： 算子 $T$ 存在 $n$ 个线性无关的特征向量（即 $V$ 存在一组完全由 $T$ 的特征向量组成的基）。 特征子空间直和： 向量空间 $V$ 是 $T$ 的所有特征子空间的直和。 $$V = E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus E_{\lambda_k}$$ 代数重数等于几何重数： $T$ 的特征多项式在所在数域上可全部分解为一次因式的乘积，且对于每一个特征值 $\lambda_i$ ，其代数重数等于几何重数（即 $\dim(E_{\lambda_i})$ 等于该特征值在特征多项式中的重数）。 极小多项式无重根： $T$ 的极小多项式 $m(x)$ 在所在数域上可分解为互不相同的线性因式的乘积。 $$m(x) = (x - \lambda_1)(x - \lambda_2)\dots(x - \lambda_k)$$算子可对角化的充分条件 特征值互异： 算子 $T$ 具有 $n$ 个互不相同的特征值（即特征多项式无重根）。 自伴随算子（实对称）： 在实内积空间中，若 $T$ 为自伴随算子（其在标准正交基下的矩阵为实对称矩阵），则 $T$ 必然可被正交对角化。 正规算子： 在复内积空间中，若 $T$ 满足 $T^\*T = TT^\*$ （即正规算子，对应矩阵包括埃尔米特矩阵、反埃尔米特矩阵、酉矩阵等），则 $T$ 必然可被酉对角化。 存在无重根的化零多项式： 若算子 $T$ 满足某个无重根的多项式方程 $f(T) = 0$ ，则 $T$ 可对角化。例如幂等算子（满足 $x^2 - x = 0$ ）与对合算子（满足 $x^2 - 1 = 0$ ）均必然可对角化。 设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的有限维向量空间， $T$ 是 $V$ 上的线性算子。 ...